jueves, 7 de agosto de 2008

En matemáticas, una fracción continua es una expresión de forma :donde a0 es un entero y todos los demás números an son enteros positivos. Expresiones más largas se definen de manera análoga. Si permitimos que el numerador sea distinto de la unidad, la expresión resultante es una fracción continua generalizada.
Notación [editar]Se puede expresar las fracciones continuas como
o en la notación de Pringsheim
o esta otra notación similar a la anterior
Se pueden definir las fracciones continuas infinitas como un límite:
Este límite existe para cualquier elección de enteros positivos a1, a2, a3 ...
Desarrollo de raíz de 2 [editar]La raíz cuadrada de 2 admite un desarrollo por fracciones continuas fácilmente demostrable.
Funciones definidas por fracciones continuas [editar]Algunas funciones admiten desarrollo por fracciones continuas:función tangentetan(x) = válida para: función tangente hiperbólicath(x) = válida para: función logaritmo naturalln(x)

jueves, 22 de mayo de 2008

Billar
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El billar es un juego que se practica impulsando con un taco un número variable de bolas (antiguamente de marfil), en una mesa con tablero de pizarra forrada de paño, rodeada de bandas de material elástico y con troneras o sin ellas. Tuvo la carta olímpica para los Juegos Olímpicos de 2004, aunque no llegó a ser incluido en ellos. Existen muy diferentes variantes:
El billar francés o de carambolas
El billar inglés o pool 51
El billar americano o pool
El billar español o Spanish pool
El snooker
Otros juegos de billar
El billar italiano o cinque birili
El billar ruso
El billar Hindú
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Historia
1.1 Juego francés y sus modalidades
1.2 Billar americano y sus modalidades
1.3 Billar español y sus modalidades
1.4 Snooker
1.5 Otras modalidades
2 Diferentes mesas de billar
2.1 Carambola
2.2 Pool
2.3 Snooker
3 Fases hechas del juego
4 Enlaces externos
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Historia [editar]

Estudiantes de Tubinga (Alemania) en el siglo XIX
El billar, que desde comienzos del siglo XVI constituye el verdadero y lujoso mueble destinado a esparcimiento doméstico, se deriva de los diferentes juegos de bolas que han estado en uso desde tiempos remotos. Parece de invención francesa, ya usado, aunque imperfectamente, en los dos últimos siglos de la Edad Media. En lo que tiene de artística la mesa sobre la que se juega, ha seguido las variantes del estilo del Renacimiento y los caprichos del gusto, al igual que los demás muebles de salón y gabinete. El nombre le viene de los tacos o punteros que sirven para empujar las bolas de marfil, los cuales se llamaban billiard en Francia. De ellos, pasó el nombre a todo el juego, y de aquí a la mesa que sirve para el mismo, la cual siempre ha de ser robusta y pesada para evitar que se cimbree o pierda el equilibrio.
El juego

Bolas de billar.
El juego se basa en los choques de las bolas entre sí y con las bandas. La jugada comienza impulsando una de las bolas con el taco, el cual lleva adosada en su extremo anterior una suela de cuero, encargada de trasmitir el movimiento a la bola. Esta suela se recubre cada pocas tiradas con un polvo antideslizante (tiza). Existen distintas modalidades de tiro, tales como el monje ciego, el cual consiste en impactar la bola sin mantener contacto visual con ella; el monje sordo, que consiste en pegarle a las bolas sin producir sonido entre otros como el del cirujano y el de los dioses egipcios. Actualmente las bolas suelen ser de materiales sintéticos con cualidades elásticas similares a las del marfil.

Juego francés y sus modalidades [editar]
El primero de todos los juegos de billar es el llamado francés o de carambola, que se juega con dos bolas blancas y una roja, o bien una blanca, una amarilla y una roja. Los jugadores tiran estratégicamente con las bolas blancas (o amarilla y blanca), y la carambola consiste en golpear con la bola jugadora a las otras dos. La consecución de carambola válida da derecho a seguir tirando; en caso de fallo, pasa memu el turno al otro jugador, que tira con la blanca contraria a la que usó el anterior.
Según las restricciones que se pongan a la ejecución de las carambolas, hay diversas modalidades:
Libre: Sólo restringe series en los rincones, para lo cual se trazan triángulos (tras la segunda carambola, ha de salir del triángulo-rincón al menos una de las dos bolas no jugadoras). La mesa para libre.
Cuadro 47/2: Sobre la mesa se trazan líneas -separadas 47 cm.- formando cuadrados y rectángulos en los que se establece la misma limitación que en los rincones de la modalidad "Libre".
Cuadro 47/1: Lo mismo que el anterior pero obligando a sacar del cuadro una de las bolas contrarias con cada carambola que se haga con ellas dentro. Mesa para los cuadros 47/2 y 47/1.
Cuadro 71/2: Misma limitación que Libre o 47/2 pero con los cuadros más grandes.
Cuadro 71/1: Ídem que 47/1. Mesa para los cuadros 71/2 y 71/1.
Banda: Se obliga a que la bola jugadora toque al menos una banda antes de tocar la tercera bola (completar la carambola).
Tres bandas: Es obligatorio que la bola jugadora haya tocado ya al menos tres bandas antes de completar la carambola.
Los torneos se pueden jugar a sets o a "distancia". El juego por sets suele ser a 15 carambolas por set y al mejor de 5 sets. En el sistema de Sets no hay limite de entradas. A "distancia" se especifica el número de carambolas a alcanzar para ganar y el límite de entradas máximo para poder realizarlas. Actualmente suele ser 40 carambolas y 50 entradas, ó 50 carambolas y 50 entradas.
Artístico o de Fantasía: Consiste en ejecutar carambolas difíciles de un catálogo de posiciones preestablecidas y puntuaciones predefinidas según la dificultad. Cada jugador dispone de tres intentos por posición.

Billar americano y sus modalidades [editar]
Otra de las categorías de billar más populares es la de billar americano, también conocida como pool. En este caso, la mesa tiene 6 agujeros o troneras, cuatro en las esquinas y dos más en el centro de cada uno de los lados largos de la mesa. En ellos deben introducirse las bolas siguiendo las reglas específicas de cada juego. Los juegos de pool suelen contar con 15 bolas numeradas del 1 al 15, siendo las 7 primeras conocidas como lisas, ya que se colorean de manera uniforme a lo largo de toda la bola, utilizando un color diferente para cada una de ellas. Las 7 últimas se conocen como rayadas, utilizando los mismos colores que las bolas lisas en el mismo orden, distinguiéndose por la forma en que es aplicado el color en una banda alrededor de la bola. La bola 8 posee el color negro, siendo el único que no se repite en el conjunto, aplicado a toda la bola a la manera de las bolas lisas.
Los juegos de pool más conocidos son:

Bolas colocadas para Bola 8
Bola 9: Este juego solo utiliza las nueve primeras bolas del conjunto. El objetivo es introducir la bola 9 en alguno de los agujeros. Con la salvedad de que es necesario golpear a la bola de número más pequeño. Esto no impide que las otras bolas puedan ser introducidas también. El número de jugadores es indeterminado. Existen variantes que siguen las mismas reglas con diferente número de bolas y bola objetivo. Estas son: Bola 6, Bola 7 y Bola 10.
Bola 8: Utiliza las 15 bolas del conjunto. Es un juego para dos jugadores o equipos. Cada *equipo debe introducir las bolas que le corresponden (lisas o rayadas), y posteriormente introducir la bola 8 para ganar el juego. Existen muchas variantes en las reglas de este juego. La versión inglesa utiliza bolas amarillas y rojas en lugar de las bolas lisas y rayadas tradicionales, y en este caso se llama "pool 51".

Diana Gallardo de Scarimbolo, TriCampeona Argentina de Bola 8,(AAP, 1986-87-88).
Pool Continuo: Existen muchas variantes de este juego, estas variantes tienen en común el hecho de que las 15 bolas (lisas, rayadas y la bola 8) son "iguales".
14.1 Continuo: Utiliza las 15 bolas del conjunto. El ganador es el primero en introducir un número previamente acordado de bolas, sin importar el orden. Este número puede ser mayor al de bolas en la mesa. Se conoce como continuo pues al quedar una bola sobre la mesa, las catorce restantes se colocan de nuevo en su posición inicial, de forma que se juega sin interrupción.
Bola 8 libre: Es una variante del pool continuo, de hecho es una modalidad híbrida entre el bola 8 y el pool continuo; se basa en que el primero en colar ocho bolas (cualquiera [incluso la bola negra, aquí es una bola cualquiera] salvo la blanca obviamente), se preoclama ganador.
Rotación: La bolas deben ser golpeadas en orden numérico ascendente. Cada bola vale en puntos su número impreso. Gana quien tenga más puntos al final.

Billar español y sus modalidades [editar]
Más conocido como el Spanish pool o Chapolín de carambolas, es un juego de origen español, en la que La mesa se divide en dos bandas con tres agujeros rojos que pertenecen a una banda y otros tres agujeros blancos a la otra banda (en caso de que la mesa posea bandas del mismo color, serán los tres de la banda derecha y los tres de la banda izquierda según el punto de salida). El juego comprende 15 bolas numeradas y una bola blanca cuyo valor es de 10 puntos (en el caso de que en un partido haya un empate a 65 puntos, la bola blanca tendrá un valor de 11 puntos para marcar la diferencia).
La suma de las bolas numeradas y la bola blanca es de 130 puntos, por lo tanto, ganará la partida el jugador que primero consiga llegar a 66 o más puntos.
Si un jugador introduce bola en la banda contraria, o no introduce ninguna bola en ningún agujero perderá su turno.
Es un juego muy utilizado en Bélgica, Reino Unido, Holanda y España

Snooker [editar]
Snooker: Se juega en una mesa usualmente más grande que en cualquier juego de billar americano. Utiliza 21 bolas. 15 de ellas son rojas, las 6 restantes son de otros colores y cada una de estas bolas tiene un valor:
Negra: 7pts
Rosa: 6pts
Azul: 5pts
Café: 4pts
Verde: 3pts
Amarilla: 2pts
Rojas: 1pt
El jugador debe comenzar introduciendo una bola roja y posteriormente ir alternándola con otra de color que él elija. El jugador finaliza su turno cuando ha introducido todas las bolas rojas y posteriormente las de color por orden de valor de menor a mayor; o simplemente cuando éste falla.
La suma de la puntuación obtenida por cada jugador según las bolas introducidas determinará al vencedor de la partida.
En caso de cometer falta (meter la blanca o meter una bola no elegida) el jugador dará puntos a su contrincante (estos varían según el tipo de falta cometida).
El objetivo del juego es conseguir más puntos que el rival, embocando las bolas en un determinado orden. Las reglas del snooker son muy sencillas Se juega por turnos y en cada turno, el jugador debe intentar hacer el mayor número de combinaciones embocando primero una bola roja y luego una de color (el color de la segunda bola debe ser anunciado de antemano) volviendo a colocarse la bola de color en su lugar tras ser embocada.
Una vez embocadas todas las bolas rojas, con sus correspondientes combinaciones, se embocan por orden de valor las bolas de color. Debe tocarse la bola que corresponde o el jugador cometerá una falta que sumará puntos a su rival.
El juego es muy popular en Gran Bretaña, Irlanda, Canadá, Australia y la India. Recientemente ha surgido interés por el mismo en Asia Occidental y jugadores de Thailandia, Hong Kong y China han llegado a la elite, aunque también su practica se ha extendido mucho por otros paises de Europa como España y Portugal.

Otras modalidades [editar]
Existen más modalidades de juegos de billar con agujeros, entre ellas:
Chicago:(Cuba) Se juega con las bolas del 5 al 15, se colocan todas de forma consecutiva en las bandas exeptuando la bola 5, que va en el centro. Las bolas se van metiendo de manera ascendiente, y se obtendran la cantidad dependiendo de la bola, si se introduce el 5 se obtendrán esa misma cantidad de puntos, de la misma manera que si el jugador no golpea la bola a la que debería, peredera la cantidad de puntos correspondientes a la bola.
Chapó: Con sólo 4 agujeros, tres bolas y palillos para derribar sobre la mesa.
Italiana 5 birilli: Con 3 bolas, 5 birillos.
Cantadas: (Perú) Consiste en meter una bola por turno y debe ser la que, anticipadamente, has dicho que vas a meter y en un agujero determinado, si dicha bola se mete en otro agujero, no vale; si otras bolas se meten tampoco valen.
Minga: (Perú) Consiste en colocar las bolas en orden de número y sucesivamente en cada punto de la mesa, luego se debe meter cada bola empezando por la 1; si se mete otra bola solo vale siempre y cuando la blanca haya tocado antes la bola objetivo, si no se toca la bola objetivo se considera lance. Es ganador el que mete más bolas o el que gana más dinero. En apuestas cada jugador da una cantidad determinada de dinero por cada bola que otro ha metido y también se le paga a cada jugador cuando el que está pagando cometió lance.
En nuestra modalidad la bola de taco puede ser introducida en las troneras de tu banda. De esta forma, puedes atacar la bola objetiva para embolsar la bola de taco (tiradora) y sumar sus puntos, utilizando así técnicas de la carambola. El tapete tiene que ser rápido como los de carambola para poder ejecutar largos recorridos de varias bandas. Son muy habituales los tiros de banda, los cuales necesitan también paños rápidos, en especial los ataques finos a la bola objetiva.
Bola Nueve Buchaca Trasera es una variante de la "Bola-9" en la cual al jugador que inicia la partida se le asigna la buchaca derecha inferior donde tiene que encestar el "9". La buchaca izquierda inferior se le asigna al oponente.
Crazy Pocket es la modalidad Panameña en la cual sólo se usan siete bolas objetivo que se arman en forma circular; es parecido a la "Bola Nueve Buchaca Trasera" pero es mucho más divertido (y difícil): Un cenicero se coloca sobre la mosca inferior y cada vez que cualquier bola lo contacta, o si se encesta la minga, el jugador debe aportar una moneda dentro del mismo.
El Pool Hindú (también llamado Contra Pool) es una modalidad en la cual la minga juega el papel de "bola objetivo de turno" siempre; la bola objetivo menor que está en la mesa hace el papel de minga y con ella es que se ataca. Los puntos se acumulan encestando la bola tacadora después de haber contactado a la minga. Al "armar la mesa" la minga se coloca en la posición del "1" (sobre la mosca superior) y la bola "1" en la cabaña, para ejecutar el "tiro de salida".
El Corcho es una modalidad que se juega tanto en una mesa con troneras, como en una sin ellas. Se usa sólo una bola objetivo que se liga a la banda a la altura del diamante central superior. Un corcho se coloca sobre la mosca central y un círculo de tres pulgadas de diámetro se marca con tiza alrededor de la mosca. Al iniciar la partida cada jugador coloca una moneda sobre el corcho. El objetivo del juego es contactar la bola objetivo y luego contactar el corcho, ya sea con la bola (casín) o con la minga (carambola). Si falla, el jugador debe colocar una moneda adicional en el corcho. Si se efectúa la "jugada del corcho" el jugador cobra las monedas que están fuera del círculo. Es "falta" encestarse y/o encestar la bola objetivo.
En el Pool Hawaiano al "armar la mesa", las 15 bolas no se ligan. El "1" se coloca en la mosca superior y lleva ligado 4 bolas en forma de "V", las 6 bolas restantes se arman ligadas en forma triangular dentro de la "V". Cada jugador toma 2 "bolitas numeradas" cuyo valor es desconocido por los otros jugadores. Si en el “tiro de salida” se encesta el "1", el jugador debe continuar encestando en orden numérico ascendente. Si al romper la piña se encesta el "15", el jugador debe continuar en forma descendente. Si en la jugada inicial se encesta el "8", el jugador puede encestar como le convenga (en orden ascendente o descendente). El jugador que encesta las dos bolas con el valor equivalente a las "bolitas" que tiene en mano gana la partida.
El Cowboy Pool se juega a 101 puntos usando solamente tres bolas objetivo ("1", "3" y "5"). El "1" se coloca en la mosca inferior, el "3" en la mosca superior y el "5" en la mosca central. El jugador se acredita el valor nominal de cualquier bola objetivo encestada; un punto por efectuar carambola sencilla y dos puntos por efectuar carambola triple. El máximo puntaje posible en una jugada es de 11 puntos. Los primeros 90 puntos se acreditan en la forma descrita; de 91 a 100 puntos únicamente se permiten carambolas y, finalmente, para ganar la partida, se debe contactar la bola "1" y encestar la minga en la buchaca "cantada".
La Bola-2, creación de George Fels, se juega con dos bolas objetivo, el "1" y el "2", únicamente. Se coloca la bola "2" en la mosca superior y la bola "1" en la mosca inferior. El objetivo del juego es encestar una bola y en la misma jugada hacer carambola (1 punto); si se logra, se reposiciona la bola encestada y continúa la entrada; si se falla, el oponente inicia su entrada con la minga donde quedó reposando.
Doble Proporción es una variante de la «Bola-9 APPA» (cantada) en la cual el jugador no sólo debe "cantar" la jugada presente, sino también la próxima. Si falla la segunda jugada, la primera no es válida y la bola encestada se reposiciona en la mosca antes que el oponente inicie su entrada. Practíquelo y verá como su "juego posicional" mejorará considerablemente.

Diferentes mesas de billar [editar]

Carambola [editar]
Las mesas de carambola son mesas sin ningún agujero.
Mesa de carambola original o clásica: una mesa con el tapizado verde y el borde de madera.
Mesa de carambola innovadora o moderna: una mesa con el tapizado azul y el borde de madera.
Mesa de carambola pesonalizada: una mesa al gusto del consumidor.

Pool [editar]
Las mesas de pool tienen seis agujeros, cuatro en las esquinas y dos en la mitad de los dos lados más largos.
Mesa de pool clásica: una mesa con el tapizado verde, los bordes de madera y en las zonas del borde pegadas a los agujeros tienen una lamina de metal.

Mesa de pool clásica
Mesa de pool neoclásica: una mesa con el tapizado verde, los bordes de madera y en las zonas del borde pegadas al agujero, esa zona en concreto puede estar pintada de negro o bien, no tener nada especial respeco al resto del borde, o también todo el borde puede estar recubierto con el tapizado verde.
Mesa de pool de mayores tecnologías: una mesa con el tapizado azul y el borde de metal.

Mesa de pool de mayores tecnologías
Mesa de pool cosmopolitana: una mesa con el tapizado rojo y el borde de madera, existe otra variante que consoste en el borde interno de metal, el externo de madera y posiblemente recubierto con una lámina de metal en las cuato esquinas.
Mesa de pool moderna: una mesa con el tapizado azul y los bordes son de madera, estos pueden tener pintados de negro los sitios del borde pegados al agujeros o bien, no tenerlos.

Mesa de pool moderna
Mesa de pool personalizada: una mesa al gusto del consumidor. Siempre y cuando, no sea una combinación estandar.

Snooker [editar]
Las mesas de snooker son muy parecidas a las mesas de pool solo que algo más grandes.
Mesa de snooker: una mesa con el tapizado verde y los bordes de madera.

Fases hechas del juego [editar]
Romper el juego: Se dice cuando se inicia el juego.
Te reto !: Se dice cuando se quiere retar a un jugador o pareja con dinero de por medio.
Billarada: Se dice cuando se hace una jugada muy inesperada.
Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß) ▶ (ayuda·info·en ventana) (30 de abril de 177723 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss fue un niño prodigio de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Biografía
1.1 Infancia
1.2 Juventud
1.3 Madurez
2 Enlaces externos
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Biografía [editar]

Infancia [editar]
Es célebre la siguiente anécdota: con tan sólo 3 años corrigió en su cabeza un error de su padre, mientras éste realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precoz habilidad para los números. Tenía Gauss diez años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, y así sucesivamente, era constante:
1, 2, 3, 4, ..., 97, 98, 99, 100
1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =... = 101
Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto
101· 50 = 5050
Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término:

dónde a1 es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión.

Juventud [editar]
Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra (disertación para su tesis doctoral en 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.
En 1801 publicó el libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo la órbita del asteroide Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados.

Madurez [editar]

Distribución normal
En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Göttingen. En este mismo año publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas.
Quizás Gauss haya sido la primera persona en intuir la independencia del postulado de las paralelas de Euclides y de esta manera anticipar una geometría no euclidiana. Pero esto sólo se afirma, sacando conclusiones de cartas enviadas a sus amigos, Farkas Bolyai y a János Bolyai a quien Gauss calificó como un genio de primer orden.
En 1823 publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, dedicado a la estadística, concretamente a la distribución normal cuya curva característica, denominada como Campana de Gauss, es muy usada en disciplinas no matemáticas donde los datos son susceptibles de estar afectados por errores sistemáticos y casuales como por ejemplo la psicología diferencial.
Hay que aclarar que Gauss no fue el primero en hacer referencia a la distribución normal.
Mostró un gran interés en geometría diferencial y su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curva publicado en 1828 fue el más reconocido en este campo. En dicha obra expone el famoso Teorema Egregium. De esta obra se deriva el término Curvatura Gaussiana.
En 1831 se asocia al físico Wilhelm Weber durante seis fructíferos años en los que realizan investigaciones sobre las Leyes de Kirchhoff, publicaciones sobre magnetismo y construyen un telégrafo eléctrico primitivo.
Aunque a Gauss le desagradaba dar clases, algunos de sus alumnos resultaron destacados matemáticos como Richard Dedekind y Bernhard Riemann. Otros matemáticos contemporáneos fueron Carl Gustav Jakob Jacobi, Dirichlet y Sophie Germain.
Gauss murió en Göttingen el 23 de febrero de 1855.

Tumba de Gauss en Göttingen
Un gauss (G) es una unidad de campo magnético del Sistema Cegesimal de Unidades (CGS), nombrada en honor del matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss. Un gauss se define como un maxwell por centímetro cuadrado.
La unidad del Sistema Internacional de Unidades (SI) para el campo magnético es el tesla. Un gauss es equivalente a 10-4 teslas.
*Una determinada especie de amebas se reproduce dividiéndose en dos cada día. Entonces, si hoy tenemos una ameba, mañana tendremos dos, pasado mañana cuatro, etc. Cuando comenzamos con una ameba, se tarda 30 días en llenar una cierta superficie con amebas.
¿Cuánto se tarda en cubrir la misma superficie si comenzamos con dos amebas?

Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.

Tres números con nombre
Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:
· El número designado con la letra griega = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2. .radio= .diámetro).
· El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .
· El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
*En un cajón hay 28 calcetines negros y 28 calcetines blancos. El cuarto está totalmente a oscuras. ¿Cuántos calcetines hay que tomar para asegurarse que haya al menos un par del mismo color?
*¿Cuál es el producto de la siguiente serie?
(x-a)(x-b)(x-c).......(x-z)
DefiniciónUn Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.
Un poliedro es, en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico espacial cuyas caras se componen de una cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el polígono es el semejante topológico de dos dimensiones del poliedro; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos; por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.

Elementos notables de un poliedro [editar]
En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres elementos notables principales:
Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de polígonos.
Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas.
Asimismo, también podemos hablar de:
Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista).
Podemos llamar arista a la intersección de dos y solo dos caras del poliedro

Criterios de clasificación de los poliedros [editar]
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
Convexos como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso que dicho segmento se salga del cuerpo se dice Poliedros cóncavos, como es el caso del Toroide facetado y los Sólidos de Kepler-Poinsot
Poliedro de caras regulares cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
Poliedro de caras uniformes cuando todas las caras son iguales.
Se dice Poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo par de caras.
Se dice Poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
Se dice Poliedro regular, como el Tetraedro o el Icosaedro cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.
Se dice Poliedro uniforme cuando es un poliedro de vértices uniformes y todas sus caras son polígonos regulares. Sólo se han encontrado 75 poliedros uniformes.
Estos grupos no son exclusivos, es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.

Familias de poliedros [editar]

Poliedros regulares [editar]

Sólidos platónicos [editar]

Tetraedro
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el Tetraedro, el Cubo, el Octaedro, el Dodecaedro y el Icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros, de estos se derivan los Sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.

Poliedros irregulares [editar]

Sólidos arquimedianos [editar]

Cuboctaedro
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de de caras regulares y vértices uniformes pero no de caras uniformes, fueron ampliamente trabajados por Arquímedes. Algunos se les puede hallar truncando los sólidos platónicos, son 11: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Y 2 más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el Cubo romo y el Icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico, es decir una figura de espejo correspondiente.

Prismas y antiprismas [editar]
Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos. Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices que le dan el nombre al prisma y una serie de cuadrados, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de 2 triángulos y 3 cuadrados; tiene 9 aristas y 6 vértices de orden 3 donde convergen siempre dos cuadrados y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal que se compone de 2 decágonos + 10 cuadrados; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3. Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así el antiprisma cuadrado se compone de 2 cuadrados y 8 triángulos; tiene 8 vértices y 16 aristas.

Otras familias de poliedros [editar]

Sólidos de Johnson [editar]
Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes, sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.
Son en total 92 y entre ellos se enumeran:
Pirámide triangular elongada
Rotunda pentagonal elongada
Girobifastigium
Girobicupola cuadrángular giroelongada que es él único cuerpo de este grupo que sigue siendo uniforme.
etc

Bipirámides y trapezoedros [editar]
Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas respectivamente; por ende también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes

Sólidos de Catalan [editar]

Hexaquisoctaedro
Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes, el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.
Entre los Sólidos de Catalán se encuentran: El Triaquistetraedro; el rombododecaedro; el Triaquisoctaedro; el Tetraquishexaedro; el Icositetraedro deltoidal; el Hexaquisoctaedro; el Icositetraedro pentagonal; el Triacontaedro rómbico; el Triaquisicosaedro; el Pentaquisdodecaedro; el Hexecontaedro deltoidal; el Hexaquisicosaedro y el Hexecontaedro pentagonal. 13 en total.

Deltaedros [editar]
Se llaman deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equilateros, no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado.

Geometria

Historia de la Geometría [editar]
La geometría clásica se encargaba de estudiar construcciones utilizando regla y compás. Posteriormente y dado que, toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre los mismos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos.
La barrera entre el álgebra y la geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen, en el cual se define a la geometría como el estudio de las invariantes de un conjunto mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes.

Axiomas, definiciones y teoremas [editar]
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores, para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.
Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta lo siguiente: las definiciones, axiomas y teoremas no pretenden (o no solo pretenden) describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelo).
Esto significa que en adelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo "tradicional".
Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, si una recta es para nosotros entonces una familia de polinomios de la siguiente manera y un plano es entendido como el conjunto , es posible ver que TODOS los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo.

Axiomas [editar]
Los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos los cuales deben ser definidos en función al punto, la recta y el plano.
En los diferentes tipos de geometría sintética se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra
Los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos los cuales deben ser definidos en función a (los puntos, no tiene sentido hablar de recta y/o plano). F(x), puede definir cualquier funciòn llamese recta,circunferencia, cuadrado de la circunferencia, planos entre otros.

Tipos de geometría [editar]
Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si nosotros agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más).
Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todos los tipos de geometría (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A aquella que une las definiciones, los axiomas, los teoremas y su uso se le llama geometría absoluta o geometría neutral. la geometria es las aximsas

Métodos analíticos de estudio de las geometrías [editar]
Véase: Geometría cartesiana y Geometría diferencial.
Estos son los diferentes tipos de geometria Relacionaos con las matematicas -.Geometría descriptiva -.Geometría proyectiva -.Geometría analítica -.Geometría euclidiana -.Geometría espacial -.Geometría de incidencia -.Geometría métrica -.Geometría proyectiva todos esos tipos de geometria son correctos